День первый (an arithmetic)

ЗАДАЧА
При некотором натуральном n числа 4n+5 и 9n+4 - точные квадраты. Доказать, что число 5n+4 делится на 29.

РЕШЕНИЕ
В действительности - это задача на вычеты, и не важно даже - точные квадраты первые два числа или нет. И вот почему:

9n + 4 - (4n + 5) = 5n - 1, 5n + 4 = 0 mod 29 
<=> 5n - 1 = 24 mod 29

Используя R проверим:

> ns <- 1:29 # а дальше повторы 
> ns[1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
> rst1 <- (4*ns +5) %% 29 
> rst1 # где - то здесь вычет первого квадрата
[1] 9 13 17 21 25 0 4 8 12 16 20 24 28 3 7 11 15 19 23 27 2 6 10 14 18 22 26 1 5
> rst2 <- (9*ns +4) %% 29 
> rst2 # где - то здесь вычет второго квадрата
[1] 13 22 2 11 20 0 9 18 27 7 16 25 5 14 23 3 12 21 1 10 19 28 8 17 26 6 15 24 4
> (rst2 - rst1) %% 29 # а это вычеты 5n - 1, ищем 24
[1] 4 9 14 19 24 0 5 10 15 20 25 1 6 11 16 21 26 2 7 12 17 22 27 3 8 13 18 23 28
> # Ага, есть такой остаток!

ВЫВОД
В незаконченном "The R Language Definition" пишут, что R происходит от APL и Scheme. Значит по линии APL он в родственных отношениях с J, K и прочими Q. Пусть возможности R по работе с многомерными данными и не столь изощрённы, но эта задачка - была моим первым опытом после установки, и "векторизация" очень понравилась. Кажется, R можно использовать для арифметических экспериментов.

БОНУС
Задача производит впечатление чего - то вырожденного, давалась школьникам на маткружке. В самом деле, не счёт же от них требовали. Очевидно, здесь есть решение "с вывертом". Вот оно:

(4*n+5) = a^2(9*n + 4) = b^2
9*a^2 - 4*b^2 = 29
(3*a - 2*b)*(3*a + 2*b) = 29

Из простоты 29 получаем n = 5